차수가 h인 다항식 ${hbar}(x){in}F_q[x]$에서, $x-s_1,;x-s_2,;{cdots},;x-s_n$에 의해 생성된 $(F_q[x]/({hbar(x)))*$의 multiplicative subgroup의 크기를 결정하는 것은 대단히 중요한 과제이다. 여기서 ${s_1,;s_2,;{cdots},;s_n}{sebseteq}F_q$이고 모든 i 에 대해서, ${hbar}(x){ eq}0$이다. 지금까지 알려진 asymptotic lower bound는 $(rh)^{O(1)}(2er+O(frac{1}{r}))^h$이며, 여기서 $r=frac{n}{h}$이고 e(=2.718...)는 natural logarithm의 기저이다. 본 논문에서는, coding theory 문제와 연계해서 더 낳은 lower bound인 $(rh)^{O(1)}(2er+{frac{e}{2}}{log}r-{frac{e}{2}}{log}{frac{e}{2}}+O{(frac{{log}^2r}{r})})^h$를 증명하고자 한다. 여기서 log는natural logarithm을 나타내며, 또한 이방식의 제약점에 대해서도 논의한다.
Given a polynomial ${hbar}(x){in}F_q[x]$ of degree h, it is an important problem to determine the size of multiplicative subgroup of $(F_q[x]/({hbar(x)))*$ generated by $x-s_1,;x-s_2,;{cdots},;x-s_n$, where ${s_1,;s_2,;{cdots},;s_n}{sebseteq}F_q$, and for all ${hbar}(x){ eq}0$. So far the best known asymptotic lower bound is $(rh)^{O(1)}(2er+O(frac{1}{r}))^h$, where $r=frac{n}{h}$ and e(=2.718...) is the base of natural logarithm. In this paper, we exploit the coding theory connection of this problem and prove a better lower bound $(rh)^{O(1)}(2er+{frac{e}{2}}{log}r-{frac{e}{2}}{log}{frac{e}{2}}+O{(frac{{log}^2r}{r})})^h$, where log stands for natural logarithm We also discuss about the limitation of this approach.
