본 논문에서는 기계 공구가 설계된 표면에 접근할 수 있는 모든 방향을 결정하는 기계가 공성 문제를 고려한다. 먼저 공구가 이동할 수 있는 자유도에 따라 여러 가지로 나뉘어지는 기계기공성 문제는 원으로 경계지워진 구상의 영역에 주어진 점의 집합을 포함하는가 결정하는 일원화된 문제로 형식화된다. 공구의 특성과 이동자유도를 반영한 구상의 영역을 도메인이라 한다. 도메인중에 대표적인 경우는 소디스크(small disk)와 대밴드(great band)이다. 우리는 이 두가지 경우에 주어진 점의 집합을 포함하는 모든 도메인의 극(pole)을 구하는 O(nlogn)시간의 알고리즘을 제시한다. 여기서 n은 가공할 면으로부터 사상된 구상의 점의개수이다.